최대 원소와 최소 원소

최대 원소(greatest element, top element)와 최소 원소(least element, bottom element)는 순서집합의 특정 원소를 이르는 말이다.

정의

원순서 집합 \(\langle P, \lesssim\rangle\)에 대해 다음을 정의한다.

1. \(m \in P\)가 \(\forall x \in P, \ x \lesssim m\)을 만족하는 경우, \(m\)을 최대 원소라고 하고 \(\top\)으로 나타낸다.
2. \(w \in P\)가 \(\forall x \in P, \ w \lesssim x\)를 만족하는 경우, \(w\)를 최소 원소라고 하고 \(\bot\)으로 나타낸다.

유일성

원순서 집합 \(\langle P, \lesssim\rangle\)에서 최대 원소와 최소 원소는 일반적으로 유일하지 않다. 그러나 원순서에서 유도되는 동치 관계 \((\sim) \triangleq (\lesssim) \cap (\gtrsim)\)에 대해 고려할 경우 유일하다.

1. \(m_1, m_2\)가 \(\langle P, \lesssim\rangle\)의 최대 원소인 경우, \(m_1 \sim m_2\)
2. \(w_1, w_2\)가 \(\langle P, \lesssim\rangle\)의 최소 원소인 경우, \(w_1 \sim w_2\)

부분 순서 집합에서 최대 원소와 최소 원소는 각각 존재한다면 유일하다.